Matrices: septiembre 2016

MATRIZ.- Una Matriz es un conjunto de valores organizados por filas y columnas, y se representa con una letra del alfabeto mayúscula.

Para colocar el orden de una matriz se toma en cuenta primero el número de filas por el número de columnas. (Ver figura 1)

En una matriz sus filas y columnas son enumeradas de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, a partir del número 0, y cada termino es numerado dependiendo del número de fila y columna al que pertenezcan. (Ver figura 1)

TIPOS DE MATRICES

1) Matriz Fila.- Solo tiene una fila --> [-2 4 0]

2) Matriz Columna.- Tiene una sola columna

3) Matriz Rectangular.- El número de filas es desigual o diferente al número de columnas

4) Matriz Cuadrada.- Su número de filas es el mismo que el número de columnas 

5) Matriz Diagonal.- Este tipo de matriz contiene las características de una matriz cuadrada (Número de filas y columnas iguales), pero se caracteriza porque sólo su diagonal tiene números diferentes de cero (0).

6) Matriz Triangular Superior.- Cumple con las características de la matriz diagonal, pero sus términos que están debajo de la diagonal son cero (0) y aquellos que están encima de la diagonal forman un triángulo con valores desiguales a cero.

7) Matriz Triangular Inferior.- Al igual que la triangular superior cumple con las características de la matriz diagonal, pero los términos encima de la diagonal son cero (0) y aquellos que están debajo de la diagonal desiguales a cero, forman un triángulo.

8) Matriz Nula.- Todo sus términos son cero (0).

9) Matriz Identidad.- Cumple con las características de una matriz diagonal, pero se diferencia en que todos los términos de la diagonal son 1 positivo (1).

10) Matriz Escalar.- Todos los elementos o términos de la diagonal son iguales, ya sean positivos o negativos.

EJEMPLO: Representar en una matriz lo siguiente

En un seminario internacional se realizó una encuesta a 500 personas y se obtuvo:

150 Hombres eran ecuatorianos

100 Mujeres eran ecuatorianas

60 Hombres eran colombianos

70 Mujeres eran colombianas

70 Hombres eran venezolanos

50 Mujeres eran venezolanas

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA.- Para poder realizar una suma de matrices, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

Las matrices a sumar deben tener el mismo orden (cuadrada).
Se suman los términos de las matrices, en el orden en el que está, sin olvidar sus signos.

EJEMPLO

Sumar las siguientes matrices.

2. RESTA.- Para poder realizar una resta de matrices, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

Las matrices a restar deben tener el mismo orden (cuadrada).
Se restan los términos de las matrices, en el orden en el que está, sin olvidar sus signos.

EJEMPLO

Restar las siguientes matrices.

3. MULTIPLICACIÓN.- Para poder multiplicar matrices debemos tener presente que:

El número de columnas de la primera matriz, debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.
Se multiplican los términos de la primera fila por los términos de cada columna de la segunda matriz.
La multiplicación de los términos siempre van sumados, sin dejar de lado la ley de signos.

EJEMPLO

Multiplicar las siguientes matrices.

4. DIVISIÓN

Cada término de la matriz será dividido para el número dado.
Cuando la división no es exacta, se procede a simplificar los términos, y si el caso lo amerita su resultado será una fracción.
En algunas ocasiones al no poder dividir exactamente una matriz o no poder ser simplificada, esta dará como resultado, que la división de sus términos queden establecidos en una fracción sin alteración alguna.

EJEMPLO

Dividir la siguiente matriz para 4.

5. OPERACIONES POR UN ESCALAR.- Un escalar es un número real el cual nos sirve para multiplicar todos los elementos o términos de una matriz por dicho número.

EJEMPLO

Multiplicar por el escalar 3 la siguiente matriz.

6. POTENCIA.- Para realizar la potencia de una matriz se debe tener en cuenta:

A qué número de potencia está elevada dicha matriz
Se procede a copiar la matriz, las veces que determine la potencia.
Su resolución es el mismo al de la multiplicación de matrices.

EJEMPLO

Resolver lo siguiente

7. DETERMINANTE

La matriz debe ser cuadrada.
Se multiplican los términos de la diagonal principal, menos (-) la multiplicación de los términos de la diagonal inversa.
En las matrices que no son cuadradas su resolución es diferente.

EJEMPLOS

Método para encontrar el determinante de una matriz de 3x3

MÉTODO DE SARRUS CON GRÁFICA

Se multiplican los términos de la diagonal principal (1), sumado a la multiplicación de los términos encima de la diagonal con el último (2), sumado a la multiplicación de los términos que están debajo de la diagonal con el primero (3). A todo esto se resta su inversa que es: La multiplicación de los términos de la diagonal inversa (4), sumado a la multiplicación de los términos encima de la diagonal con el último (5), sumado a la multiplicación de los términos que están debajo de la diagonal con el primero (3).

∆A= [(•x•x•) + (•x•x•) + (•x•x•)] - [(•x•x•) + (•x•x•) + (•x•x•)]

EJEMPLO

Encontrar el determinante de la siguiente matriz.

MÉTODO DE SARRUS SIN GRÁFICA

Se copia la matriz dada y se duplican las 2 primeras filas o columnas, para así sumar la multiplicación de sus diagonales principales completas (3 términos), menos, la suma de la multiplicación de sus diagonales inversas completas.

EJEMPLO

Encontrar el determinante de la siguiente matriz.